第七十一章相交弦

  在说今天的话题之前，我要说一下围棋。九年前，我知道了围棋。我就想下，结果总是输。从此，我的心里就有了阴影。六年前，我又开始尝试围棋。这次，我突然意识到围棋与数学的关系。于是，我就开始从数学的角度来看待围棋。突然之间，我觉得围棋竟然有点简单了。围棋中有个大杀器就是最小三角形三子下法。就是这么简单的方法，让与我对弈的初学者感到无可奈何。它有几大优势。第一就是灵活。几乎在任何位置和情况下，最小三角形都可以构造。你完全不用担心会没有用武之地。第二，就是布局。没错，如此简单的方法居然可以布局，这恐怕是很多人都没有想到的。我敢说应付初学者，这就是最好的选择。第三，就是结合性特别强。最小三角形可以发展成第二小正方形中心五点，还有其他很多种结合方式。对于对手要逃，不能挨着堵。而是在他棋子的外围的对角线点上布置，这样的话他怎么逃都在己方的控制之内。

  对了，应该说今天的主题了。相交弦我们提到过一次。我觉得相交弦定理可以推导出很多结论，所以就选择了它。我们过去说过不是每个四边形都是有外接圆的，而相交弦定理正好可以作为一个四边形是不是有外接圆的判定标准。为了突出讨论的讨论性，大家都要对别人的结论发表意见。核桃说了一大堆话，才终于说完。

  我来推导一个简单的。有圆o，在圆o内有内接四边形abcd，对角线ac和bd相交于点e。第一，ae.ce=be.de。（ae+ce）－（ae-ce）=(be+de)－(be-de)。

  小尼，你的这个结论可真够简单的。我就怀疑你是来凑数的。

  埃斯皮诺萨，变个形就是了。ac－bd=(ae-ce)－(be-de)。这么一来，你是否可以接受了呢？我猜你是接受了。第二，还是ae.ce=be.de。2ae/be=de/ce=k，k是我假定的比值，后面用得到。∵bd=be+ce，ac=ae+ce。∴bd=1/k.ae+k.ce。∴bd=1/k.ae+k.ce+2。大概就是这样吧

  两人都说：我们没有意见。这个结论听起来很正确。

  我也有简单的推导过程。第一，由小尼的推导有ae/be=de/ce=k。由对顶角相等，得(ae+be－ab)/(2ae.be)=(ce+de－cd)/(2ce.de)，ae=k.be，de=k.ce。be(1+k)/(2k.be)－ab/(2k.be)=ce(1+k)/(2k.ce)－cd/(2k.ce)。∴ab/(2k.be)=cd/(2k.ce)。∴ab.ce=be.cd。第二，当e是bd中点，有2be+2ae=ab+ad。∵be.de=ae.ce，∴2ae.ce+2ae=ab+ad。∴2ae.ac=ab+ad。我的结论就这么多，接下来就让艾丽西亚来吧。

  那我就也来两个简单的推导。还是那个圆和四边形。根据圆周角定理可知∠ade=∠bce且∠aed=∠bec。∴△ade相似于三角形bce。∴ad/bc=de/ce。由小尼的推导可知de/ce=k，∴ad/bc=k。同理ab/cd=k。∴ad/bc=ab/cd。根据埃斯皮诺萨的第一条结论：ab.ce=be.cd，∴ad.ce=bc.be。我的第二条结论很简单，我就不说了。

  看来大家对彼此得出的结论都很相信，所以就没有什么意见。结论正确当然是好事，不过没有讨论的讨论是不是缺少了什么？我想这是我们应该思考的。……。（核桃说）