第七十章勾股定理

  说起勾股定理，想必大家无人不知。但是，用它得出结论，大家尝试过吗？不过，在大家讲述之前，我要讲讲光学几何。我想大家应该都没有听过，但是它是一门实际存在的学科。学习光学几何，需要用到很多工具。据说，有人说这是数学里最闲的人才会进行研究的方向。虽然我并不认可这样的说法，但是光学几何的确对条件有点要求。如果你没有大量的数据库，恐怕都不敢说自己是进行光学几何的研究。虽然如此，但是我的兴趣很浓。光学几何听起来很好，看起来很好。可是，一旦分析就显得困难许多。为了今后可以进行光学几何的研究，我准备多学习图形变换。好，我就开个头。有三角形abc，在bc上做垂线交bc于点d。于是，就有ab=ad+bd，ac=ad+cd。两式一减就有ab-ac=bd-cd=bc(bd-cd)。大家是不是觉得这个推论简单，那么你们也来推导出来一个简单的推论吧！核桃笑着说。

  我来说个四边形的。有四边形1，它有a、b、c、d四条边和对角线e。其中，e是关于（a，b），(c，d)的对角线。第一，过a和b的交点作e的垂线交它于一点。于是，e就变成了m和n。第二，同样地就有p和q。由勾股定理可知，a-b=m-n，c-d=p-q和e=m+n=p+q。联立可得，(a-b)/(c-d)=(m-n)(p-q)。怎么样？我的推导过程也不复杂吧！埃斯皮诺萨很得意忘形地说。

  你这个的确简单，那我来个复杂的。在核桃的基础上，我加一条辅助线。在bd中取一点e，连接ae。根据勾股定理可知，ab=bd+ad，ac=ad+cd。bd=be+ed，cd=ce-ed。代入相减就有ab-ac=（be+ed）－(ce-ed)=(be-ce+2ed)bc。我的这个推论其实就是核桃的推论的一般化形式。小尼口气有点大，不过推论并没有多么复杂。

  你们都是只是从三角形出发，而我却要与圆联系起来。有圆1，它里面有四边形abcd。其中两条对角线相交于点e，而且它们还互相垂直。根据相交弦定理和勾股定理，有be.ce=ae.de，bc=be+ce。所以，bc=ab-ae+ac-ae+2ae.de=ab+ac+2ae(de-ae)。怎么样，有点复杂吧！那么，我再来一个简单的。有圆o，圆外有一点a与圆相切于bc两点。连接bc。过d点c做ac的垂线交ab的延长线于d。根据切线定理和勾股定理，有ac=bc，ad=cd＋ac，ad=ab＋bd。因此，(ac＋bd)=cd＋ac。所以，2ac.bd＋bd=cd。最后，bc=2ac.bd。我记得切线定理中好像有这么一条推论的，但是现在就是找不到了。兴许是我记错了。艾丽西亚最后说道。

  定理的提出就是为了完善现有理论的，而我们的推导刚好就证明定理之间是相辅相成的。如果大家希望可以有更多的发现，就一定要掌握更多的理论工具。那么，我也不说别的。今天就到此为止。好，散吧。核桃说。